7 Temmuz 2000’de İstanbul’da doğan Yunus Akgün, Galatasaray altyapısında yetişti. Profesyonel olarak ilk maçına, 5 Ağustos 2018 tarihinde Akhisar Belediyespor'la oynanan Türkiye Süper Kupası finalinde çıktı. Süper Lig'de Galatasaray formasıyla ilk lig maçına 27 Ağustos 2018'de Alanyaspor'laoynanan ve 6-0 kazanılan maçta çıkan genç oyuncu aynı zamanda ligdeki ilk asistini de bu maçta yaptı. 2018-19 UEFA Şampiyonlar Ligi grupları 2. haftasında deplasmanda Porto ile karşılaşan Galatasaray'da 86'ncı dakikada oyuna dahil olan genç futbolcu Emre Belözoğlu'ndan sonra Şampiyonlar Ligi'nde forma giyen en genç Galatasaraylı futbolcu oldu.

2020-2021 sezonunu Adana Demirspor’da kiralık olarak geçiren oyuncu, takımının 1. Lig şampiyonluğunda önemli pay sahibi oldu ve bir sezon daha Adana ekibinde kiralık olarak forma giydi. Milli takımın U16, U17, U19, U20 ve U21 alt yaş kategorilerinde forma giyen Akgün, Adana Demirspor’da gösterdiği performansın ardından Türkiye A Milli Takımı'nda ilk maçına çıktı. 14 kez A Milli formayı terleten Yunus Akgün, iki gole imza attı. 

2022-2023 sezonunda Galatasaray’a geri döndü ve teknik direktör Okan Buruk yönetimindeki kadroda yer aldı. Yunus Akgün 2022-23 sezonunda Galatasaray'da şampiyonluk yaşayan kadronun parçası oldu. 2023-24 sezonunuLeicester City'de kiralık geçirdi ve ertesi sezon yuvasına döndü. 

2024-25 sezonunda büyük bir gelişim gösteren Yunus, takımın önemli isimlerinden biri haline geldi. Kariyerinin en iyi sezonunu geçiren Yunus, çıktığı 44 maça 12 gol ve 14 asist sığdırdı.