2000 yılında Rize’de dünyaya gelen Barış Alper Yılmaz, futbola 2011 yılında doğduğu şehrin takımlarından Rize Özel İdare Spor'da başladı. 2017 yılına kadar burada forma giyen Yılmaz, 2017-2018 sezonunda Ankara Demirspor transfer olarak profesyonel kariyerine başlangıç yaptı.

Ankara Demirspor'da geçirdiği 3 sezonda 43 resmi maça çıkan genç oyuncu, 2020/2021 sezonunun başında ise Ankara Keçiörengücü'ne transfer oldu. Geçtiğimiz sezon TFF 1. Lig'de 34 maça çıkan Yılmaz, 8 gol atıp 5 de asist yaptı.

Profesyonel kulüp kariyerinde çıktığı 79 maçta 9 gol ve 5 asistle skora katkı sağlayan 21 yaşındaki kanat oyuncusu, Türkiye U21 formasını ise 3 kez giydi. Yılmaz, Hırvatistan ile oynanan karşılaşmada Ay-Yıldızlı formayla ilk golünü kaydetti.

Barış Alper Yılmaz, 2021-2022 sezonundan bu yana Galatasaray forması giymektedir. 2022-23 sezonunda Galatasaray'da ilk Süper Lig şampiyonluğunu yaşamıştır. Gelişimini sürdüren milli oyuncu, 2023-24 sezonunda da şampiyonluk kupasını kaldırdı ve as takımdaki yerini sağlamlaştırdı.