12 Temmuz 1991 tarihinde Sakarya’da dünyaya gelen Salih Dursun, futbola 10 yaşındayken şehrin mahalli takımlardan Garajlar Taçspor’da başladı. Bir sezon Taçspor’da oynayan Salih Dursun, takımıyla katıldığı bir turnuva sonunda Sakaryaspor’a transfer oldu. 2009-2010 sezonunda Sakaryaspor’a konan transfer yasağının ardından, kulübün altyapıya dönmesiyle A takıma yükseldi. 2011-2012 sezonu sonuna kadar yeşil-siyahlı kulüpte düzenli olarak forma şansı bulan Salih Dursun, altyapısından yetiştiği takımdaki ilk yılında stoper olarak görev aldı. Daha sonraki iki sezonda ön libero, sağ bek ve forvet pozisyonlarına oynayan genç oyuncu, 2012 yılında Kayserispor’a transfer oldu. 27 Ağustos 2012’de Antalya deplasmanında ilk Süper Lig maçını oynayan Salih Dursun, 9 Aralık 2012 tarihinde ise Trabzonspor maçında Süper Lig’deki ilk golünü attı. 2012-13 sezonunda 25 Süper Lig maçında görev alan genç oyuncu 3 gol attı. Sağ bek mevkisinde başarılı maçlar çıkaran Salih Dursun, 14 sarı kart ve 1 kırmızı kart gördü. Kayserispor’daki ikinci sezonunda da takımın vazgeçilmez isimlerinden olan Salih Dursun, 15 maçta görev aldı ve 1 gol attı. Mücadeleci bir oyun tarzı olan 1,88 m. boyundaki oyuncu, stoper olarak başladığı futbol yaşamına ön libero, forvet ve sağ bek olarak devam etti. Genç oyuncu Kayserispor’da ise genelde geri dörtlünün sağında görev aldı. Salih Dursun kariyerinde ilk kez Millî formayı A2 kategorisinde giydi. Ağustos 2013'te ise A Milli Takım aday kadrosuna davet edilen genç oyuncu Hollanda, Estonya ve Andorra maçlarında yedek kulübesinde oturdu.